27. Сторона треугольника равна 20 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 21 см и 24 см. Найдите третью медиану треугольника.

Пусть a = 20 см - сторона треугольника, m_b = 21 см, m_c = 24 см - медианы к другим сторонам. Нужно найти m_a. Используем формулы: 4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2 4m_b^2 = 2a^2 + 2c^2 - b^2 4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2 Известно a = 20, m_b = 21, m_c = 24. Подставим значения: 4 * 21^2 = 2 * 20^2 + 2c^2 - b^2 4 * 441 = 2 * 400 + 2c^2 - b^2 1764 = 800 + 2c^2 - b^2 964 = 2c^2 - b^2 4 * 24^2 = 2 * 20^2 + 2b^2 - c^2 4 * 576 = 800 + 2b^2 - c^2 2304 = 800 + 2b^2 - c^2 1504 = 2b^2 - c^2 Умножим первое уравнение на 2: 1928 = 4c^2 - 2b^2. Сложим это со вторым: 1928 + 1504 = 4c^2 - 2b^2 + 2b^2 - c^2 3432 = 3c^2 c^2 = 1144. Подставим в 1504 = 2b^2 - c^2: 1504 = 2b^2 - 1144, 2b^2=2648. b^2=1324. 4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2 = 2 * 1324 + 2 * 1144 - 400 = 2648 + 2288 - 400 = 4536. m_a^2 = 1134, m_a = sqrt(1134) 4 * m_a^2 = 2*b^2+2*c^2-a^2 1764 = 800 + 2c^2 - b^2 2304 = 800 + 2b^2 - c^2 c^2 = 1144, b^2=1324 4m_a^2 = 2*1324+2*1144-400 = 4536 m_a^2 = 1134 m_a = sqrt(1134) = 3*sqrt(126) = 9*sqrt(14) m_a = sqrt(1134) Ответ: Третья медиана равна √1134 см.