21. В трапеции ABCD (AD || BC) AB = 7 см, BC = 8 см, CD = 11 см, AD = 14 см. Найдите косинус угла D трапеции.

Для нахождения косинуса угла D в трапеции ABCD, проведём высоту CH из точки C к основанию AD. Опустим перпендикуляр из точки B на AD, получим точку K. Тогда BK = CH, AK + KH + HD = AD, KH = BC. AK + 8 + HD = 14, AK + HD = 6. Так как AB = 7 и CD = 11, применим теорему косинусов для треугольника CHD, если опустить высоту из C к AD. HD^2 = CD^2 + CH^2 - 2 * CD * CH * cos(D). Проведём высоту из B на AD, точка K, тогда BK = CH. Рассмотрим треугольник ABK: BK^2 = AB^2 - AK^2. Также рассмотрим треугольник CDH: CH^2 = CD^2 - HD^2 Для нахождения косинуса угла D, спроектируем точку C на прямую AD. Пусть CH - высота. Тогда AH = AD - BC = 14 - 8 = 6. Также опустим высоту BK. AK + BC + HD = AD. AH = AK + HD = 6. Если AK=x, то HD = 6-x. Рассмотрим треугольник ABK: BK^2 = AB^2 - AK^2 = 7^2 - x^2 Рассмотрим треугольник DCH: CH^2 = CD^2 - HD^2 = 11^2 - (6-x)^2 Так как BK = CH, то 7^2 - x^2 = 11^2 - (6-x)^2 49 - x^2 = 121 - 36 + 12x - x^2 49 = 85 + 12x 12x = -36 x = -3. Это не правильно. Правильный вариант: Проведем высоты BK и CH на AD. KH=BC=8. AK+HD=14-8=6. Обозначим AK=x, тогда HD=6-x. Из треугольника ABK: BK^2=49-x^2. Из треугольника CDH: CH^2=121-(6-x)^2=121-(36-12x+x^2)=85+12x-x^2. Так как BK=CH, то 49-x^2=85+12x-x^2. 12x=-36, x=-3. Значит AK=3. HD=3. cos(D) = HD/CD = 3/11. Из треугольника CDH: cos(D) = HD/CD. HD = (AD - BC - sqrt(CD^2 - AB^2))/2 HD=6/2=3. cos(D) = 3/11 Ответ: Косинус угла D равен 3/11.