20. В четырёхугольнике ABCD AB = CD = 13 см, BC = 11 см, AD = 21 см. Найдите диагональ BD, если около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Поскольку вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность, то это вписанный четырехугольник. По теореме Птолемея, для вписанного четырехугольника ABCD выполняется равенство: AB * CD + BC * AD = AC * BD В нашем случае AB = CD = 13 см, BC = 11 см, AD = 21 см. Так как ABCD - вписанный четырехугольник, можно применить теорему косинусов для треугольников ABD и BCD, зная что углы ∠BAD и ∠BCD в сумме дают 180 градусов. Поскольку вокруг четырехугольника можно описать окружность, противоположные углы в сумме дают 180 градусов. Угол BAD = 180 - BCD. Используем теорему косинусов для треугольника ABD: BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(BAD) Используем теорему косинусов для треугольника BCD: BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 * BC * CD * cos(BCD) Из равенства углов следует cos(BAD) = - cos(BCD). Выразим косинус угла BCD Из теоремы Птолемея AB * CD + BC * AD = AC * BD 13 * 13 + 11 * 21 = AC * BD 169 + 231 = AC * BD 400 = AC * BD Невозможно решить по теореме Птолемея, так как нет диагонали АС. Для вписанного четырехугольника можно использовать формулу: BD = sqrt((AB * AD + BC * CD)(AB * BC + AD * CD)/(AB * CD + BC * AD)) BD = sqrt(((13 * 21 + 11 * 13) * (13 * 11 + 21 * 13)) / (13*13 + 11 * 21)) BD = sqrt((428 * 416) / 400) = sqrt(177968/400) BD = sqrt(444.92) = 21.09 Уточненное решение: BD = sqrt(((13*21 + 11*13) * (13*11 + 21*13)) / (13*13+11*21)) = sqrt((442*416)/400) = sqrt(183952/400) = sqrt(459.88) = 21.44 Ответ: Диагональ BD приблизительно равна 21.44 см.