116. Прямая FB перпендикулярна плоскости треугольника ABC (рис. 52). Точка F равноудалена от точек A и C. Найти длину отрезка FB, если AC = 6 см, ∠CBA = 120°, ∠CFA = 90°.

Поскольку FB перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то FB перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности к BA и BC. Так как точка F равноудалена от точек A и C, FA = FC. Так же по условию \(\angle CFA = 90^\circ\). В треугольнике AFC проведем отрезок от B до середины отрезка AC, назовём эту точку K. Треугольник ABC с углом в \(120^\circ\). Так как FA = FC, тогда \( \triangle AFC \) равнобедренный. Раз \( \angle CFA = 90^\circ\), тогда \( \triangle AFC \) прямоугольный и равнобедренный. Отсюда \( \angle FAC = \angle FCA = 45^\circ \). Рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов найдем \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(\angle CBA) \). Известно, что AC=6см, \( \angle CBA = 120^\circ\). Раз \( \angle CBA = 120^\circ\), тогда \( \angle BAC = \angle BCA = (180-120)/2 = 30^\circ\). Теперь по теореме синусов: \( \frac{AC}{\sin 120} = \frac{AB}{\sin 30} \). \( \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AB}{\frac{1}{2}} \). \( AB = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \). Разделим AC пополам, получим AK=KC=3. Рассмотрим треугольник ABK. \( \frac{AK}{\sin 120} = \frac{AB}{\sin \angle AKB} \). \( \sin(\angle AKB) = \frac{AB \cdot \sin 120}{AK} = \frac{2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{3}{3}=1 \). \( \angle AKB = 90^\circ\). BK перпендикулярна AC и медиана. \( BK = \frac{AC}{2}\tan 30 = 3 \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \). Раз FA = FC и \( \triangle AFC \) прямоугольный, то FK - медиана и высота и равна половине гипотенузы, т.е \( FK = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2}=3\). Рассмотрим треугольник BFK, он прямоугольный, по теореме Пифагора \( FB^2 + BK^2 = FK^2 \). \( FB^2 = FK^2 - BK^2 = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6 \). \( FB = \sqrt{6} \). Таким образом, длина отрезка FB равна \( \sqrt{6} \) см.