113. Из точки M к плоскости α проведены наклонные MN и MK, длины которых относятся как 25 : 26. Найти расстояние от точки M до плоскости α, если длины проекций наклонных MN и MK равны 14 см и 20 см.

Пусть длины наклонных MN и MK равны 25x и 26x соответственно, а длина перпендикуляра от точки М до плоскости α равна h. Длины проекций наклонных равны 14 см и 20 см. По теореме Пифагора для наклонной MN: \( h^2 + 14^2 = (25x)^2 \), и для наклонной MK: \( h^2 + 20^2 = (26x)^2 \). Имеем систему уравнений: \( h^2 + 196 = 625x^2 \), \( h^2 + 400 = 676x^2 \). Выразим \(h^2\) из обоих уравнений и приравняем их: \( 625x^2 - 196 = 676x^2 - 400 \). \( 400 - 196 = 676x^2 - 625x^2 \). \( 204 = 51x^2 \). \( x^2 = \frac{204}{51} = 4 \). \( x = 2 \). Теперь можно найти \( h^2 \) из любого уравнения, например, \( h^2 = 625 \cdot 4 - 196 = 2500 - 196 = 2304 \). \( h = \sqrt{2304} = 48 \). Таким образом, расстояние от точки M до плоскости α равно 48 см.