111. Из точки M к плоскости α проведены наклонные MN и MK, а также перпендикуляр MF. Найти MF и MK, если MN = 20 см, NF = 16 см, KF = 5 см.

Здесь нам даны длины наклонных MN и их проекций NF и KF. Сначала найдем длину перпендикуляра MF. В прямоугольном треугольнике MFN, где MF – катет, а MN – гипотенуза, и NF – проекция. Используем теорему Пифагора: \( MF^2 + NF^2 = MN^2 \). \( MF^2 + 16^2 = 20^2 \). \( MF^2 + 256 = 400 \). \( MF^2 = 400 - 256 \). \( MF^2 = 144 \). \( MF = \sqrt{144} = 12 \) см. Теперь найдем длину MK в прямоугольном треугольнике MFK: \( MF^2 + KF^2 = MK^2 \). \( 12^2 + 5^2 = MK^2 \). \( 144 + 25 = MK^2 \). \( MK^2 = 169 \). \( MK = \sqrt{169} = 13 \) см. Таким образом, MF = 12 см, MK = 13 см.