112. Из точки M к плоскости α проведены наклонные MK и MC и перпендикуляр MD. Найти длины наклонных, если KD = 6 см, ∠MCD = 30°, ∠MKD = 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MKD. Так как угол \( \angle MKD = 60^\circ \), то угол \( \angle KMD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \). В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. То есть \( KD = \frac{1}{2} MK \), значит \( MK = 2 \cdot KD = 2 \cdot 6 = 12 \) см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MCD. \( \sin(30^\circ) = \frac{MD}{MC} \), \( MD = \frac{1}{2} MC \). Также \( \tan(30^\circ) = \frac{MD}{CD} \), \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{MD}{CD} \). \( CD = \frac{MD}{\tan(30^\circ)} \), где \( CD^2= MD^2 + KD^2\). Из треугольника MKD, \( MD = MK \cdot \sin 60 = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см. Зная MD, найдем MC. \( \sin 30 = \frac{MD}{MC} = \frac{1}{2} \). Значит, \( MC = 2 MD = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) см. Итого, MK = 12 см, MC = \(12\sqrt{3} \) см.