115. В четырехугольнике ABCD AB = AD (рис. 51). Прямая SA перпендикулярна плоскости четырехугольника, ∠DSC = ∠BSC. Доказать, что BC = CD.

Так как SA перпендикулярна плоскости ABCD, то SA перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности SA перпендикулярна AB, AD, SC и SD. Поскольку AB = AD и SA перпендикулярна плоскости ABCD, треугольники SAB и SAD - прямоугольные. Так же сказано, что углы \( \angle DSC = \angle BSC\). Рассмотрим треугольники SAB и SAD. Они прямоугольные, у них общий катет SA и \( AB = AD \) по условию. Следовательно, \( SB = SD \). Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle SDC \) и \( \triangle SBC \). У них: \( SD = SB \), \( SC \) - общая сторона, и \( \angle DSC = \angle BSC \) по условию. Таким образом, треугольники \( \triangle SDC \) и \( \triangle SBC \) равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть \( BC = CD \), что и требовалось доказать.