114. Доказать, что если проекции двух наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, равны, то равны и наклонные.

Пусть из точки M к плоскости α проведены две наклонные MA и MB, а также перпендикуляр MC. Пусть A' и B' - проекции точек A и B на плоскость α соответственно. Тогда, отрезки CA' и CB' будут проекциями наклонных MA и MB. По условию, проекции равны, т.е. \( CA' = CB' \). Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle MCA' \) и \( \triangle MCB' \). У них: 1. \( MC \) - общий катет (перпендикуляр). 2. \( CA' = CB' \) (по условию). По теореме Пифагора: \( MA'^2 = MC^2 + CA'^2 \) и \( MB'^2 = MC^2 + CB'^2 \). Так как \( CA' = CB' \), то \( CA'^2 = CB'^2 \). Следовательно, \( MA'^2 = MB'^2 \), откуда \( MA = MB \). Таким образом, если проекции двух наклонных равны, то и сами наклонные равны, что и требовалось доказать.