110. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина проекции наклонной равна 6 см. Найти длины перпендикуляра и наклонной, если угол между перпендикуляром и наклонной равен 30°.

Пусть длина перпендикуляра равна \( x \), длина наклонной \( l \), а длина проекции \( p = 6 \) см. Угол между перпендикуляром и наклонной равен 30°. В прямоугольном треугольнике, образованном перпендикуляром, наклонной и проекцией, синус угла в 30° будет равен отношению противолежащего катета (проекции) к гипотенузе (наклонной): \( \sin(30^\circ) = \frac{p}{l} \). Так как \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), то \( \frac{1}{2} = \frac{6}{l} \). Отсюда, \( l = 12 \) см. Теперь найдем перпендикуляр \( x \). Косинус угла в 30° равен отношению прилежащего катета (перпендикуляра) к гипотенузе (наклонной): \( \cos(30^\circ) = \frac{x}{l} \). \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{12} \). \( x = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см. Таким образом, длина перпендикуляра равна \( 6\sqrt{3} \) см, а длина наклонной 12 см.