Докажите, что при любом значение a дроби (a^4+2)/(0,5+a^2) принимает значение, большее или равное 2.

Ответ:

\[\frac{a^{4} + 2}{0,5 + a^{2}} \geq 2\]

\[\frac{a^{4} + 2}{0,5 + a^{2}} \geq \frac{2 \cdot \left( 0,5 + a^{2} \right)}{0,5 + a^{2}}\]

\[\frac{a^{4} + 2 - 1 - 2a^{2}}{0,5 + a^{2}} \geq 0\]

\[\frac{a^{4} - 2a^{2} + 1}{0,5 + a^{2}} \geq 0\]

\[\frac{\left( a^{2} - 1 \right)^{2}}{a^{2} + 0,5} \geq 0 \Longrightarrow при\ a -\]

\[любое\ число \Longrightarrow ч.т.д.\]