Докажите, что при всех значениях x/=+-2 значение выражения x/(x+2)-(x-2)^2/2*(1/(x^2-4)+1/(x^2-4x+4)) не зависит от x.

Ответ:

\[\frac{x}{x + 2} - \frac{(x - 2)^{2}}{2} \cdot \left( \frac{1}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x^{2} - 4x + 4} \right)\]

\[1)\ \frac{1}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x^{2} - 4x + 4} =\]

\[= \frac{1^{\backslash x - 2}}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1^{\backslash x + 2}}{(x - 2)^{2}} =\]

\[= \frac{x - 2 + x + 2}{(x - 2)^{2}(x + 2)} =\]

\[= \frac{2x}{(x - 2)^{2}(x + 2)}\]

\[2)\ \frac{2x}{(x - 2)^{2}(x + 2)} \cdot \frac{(x - 2)^{2}}{2} =\]

\[= \frac{x}{x + 2}\ \]

\[3)\ \frac{x}{x + 2} - \frac{x}{x + 2} = 0.\]

\[Значит,\ при\ всех\ значениях\ \]

\[x \neq \pm 2\ выражение\ не\ \]

\[зависит\ от\ \text{x.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]