Задание 7. Дано: прямоугольный треугольник MNK, KT перпендикулярно MN, TN-MT=11, KN:KM=6:5. Найти неизвестные линейные элементы.

В прямоугольном треугольнике MNK, где KT - высота, проведенная к гипотенузе MN. Пусть KN=6x, KM=5x. По теореме Пифагора: MN^2=KM^2+KN^2, MN^2=(6x)^2+(5x)^2=36x^2+25x^2=61x^2. MN = x*sqrt(61). Пусть MT=y, тогда TN = y+11. MN=MT+TN=2y+11=x*sqrt(61). KM^2 = MT*MN. 25x^2 = y*(2y+11). KN^2 = TN*MN. 36x^2=(y+11)(2y+11). Выразим x^2: 25x^2 = y(2y+11), 36x^2=(y+11)(2y+11), домножим первое на 36, второе на 25: 900x^2=36y(2y+11), 900x^2=25(y+11)(2y+11), 36y(2y+11)=25(y+11)(2y+11). 72y^2+396y = 25(2y^2+33y+121) = 50y^2 + 825y + 3025, 22y^2-429y-3025=0, y=25. Тогда TN=36, MT=25. MN = 61. KM^2=25*61, KM=5*sqrt(61). KN^2 = 36*61, KN=6*sqrt(61). KT^2=25*36, KT=30. Ответ: MT=25, TN=36, MN=61, KM=5*sqrt(61), KN=6*sqrt(61), KT=30.