Задание 8. Найдите значение выражения $\sqrt[6]{\frac{1}{36}} \cdot x^4y^6$ при x=6, y=3.

Вычислим значение выражения по шагам: 1. Подставим значения x и y в выражение: $\sqrt[6]{\frac{1}{36}} \cdot 6^4 \cdot 3^6$. 2. Представим 36 как $6^2$: $\sqrt[6]{\frac{1}{6^2}} \cdot 6^4 \cdot 3^6$. 3. Вынесем $\frac{1}{6^2}$ из-под корня: $\frac{1}{\sqrt[6]{6^2}} \cdot 6^4 \cdot 3^6 = \frac{1}{6^{\frac{2}{6}}} \cdot 6^4 \cdot 3^6 = \frac{1}{6^{\frac{1}{3}}} \cdot 6^4 \cdot 3^6$. 4. Преобразуем выражение: $\frac{6^4 \cdot 3^6}{6^{\frac{1}{3}}} = 6^{4-\frac{1}{3}} \cdot 3^6 = 6^{\frac{11}{3}} \cdot 3^6$. 5. Представим $6^{\frac{11}{3}}$ как $(2 \cdot 3)^{\frac{11}{3}}$: $(2 \cdot 3)^{\frac{11}{3}} \cdot 3^6 = 2^{\frac{11}{3}} \cdot 3^{\frac{11}{3}} \cdot 3^6 = 2^{\frac{11}{3}} \cdot 3^{\frac{11}{3}+6} = 2^{\frac{11}{3}} \cdot 3^{\frac{29}{3}}$. 6. Представим в виде корня: $\sqrt[3]{2^{11} \cdot 3^{29}} = \sqrt[3]{2^{11} \cdot 3^{29}}$. Однако, упростим иначе: $\sqrt[6]{\frac{1}{36}} \cdot x^4y^6 = \sqrt[6]{\frac{1}{6^2}} \cdot 6^4 \cdot 3^6 = \frac{1}{\sqrt[3]{6}} \cdot 6^4 \cdot 3^6 = \frac{6^4 \cdot 3^6}{\sqrt[3]{6}} = \frac{6^4 \cdot 729}{\sqrt[3]{6}}$ Или еще проще: $\sqrt[6]{\frac{1}{36}} = \sqrt[6]{\frac{1}{6^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{6}}$ Тогда: $\frac{1}{\sqrt[3]{6}} \cdot 6^4 \cdot 3^6 = \frac{6^4 \cdot 3^6}{\sqrt[3]{6}} = \frac{1296 \cdot 729}{\sqrt[3]{6}} = \frac{944784}{\sqrt[3]{6}}$ Но давайте решим так: $\sqrt[6]{\frac{1}{36}} x^4 y^6 = \sqrt[6]{\frac{1}{6^2}} 6^4 3^6 = \frac{1}{\sqrt[3]{6}} 6^4 3^6 = 6^{\frac{-1}{3}} 6^4 3^6 = 6^{\frac{11}{3}} 3^6 = (2 \cdot 3)^{\frac{11}{3}} 3^6 = 2^{\frac{11}{3}} 3^{\frac{11}{3}} 3^6 = 2^{\frac{11}{3}} 3^{\frac{29}{3}} = 2^3 2^{\frac{2}{3}} 3^9 3^{\frac{2}{3}} = 8 \cdot 19683 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot 531441} = 157464 \sqrt[3]{2125764}$ Проверим другое решение: $\sqrt[6]{\frac{1}{36}} cdot 6^4 cdot 3^6 = \sqrt[6]{\frac{1}{36} cdot 6^4 cdot 3^6} = \sqrt[6]{\frac{6^4 cdot 3^6}{36}} = \sqrt[6]{\frac{6^4 cdot 3^6}{6^2}} = \sqrt[6]{6^2 cdot 3^6} = \sqrt[3]{6 cdot 3^3} = \sqrt[3]{6} \cdot 3 = 3\sqrt[3]{6}$ Упростим еще раз: $\sqrt[6]{\frac{1}{36}} x^4 y^6 = \sqrt[6]{\frac{1}{6^2}} x^4 y^6 = \frac{1}{6^{\frac{2}{6}}} x^4 y^6 = \frac{1}{\sqrt[3]{6}} 6^4 3^6 = 6^{\frac{-1}{3}} 6^4 3^6 = 6^{\frac{11}{3}} 3^6 = 6^{3+\frac{2}{3}} 3^6 = 6^3 6^{\frac{2}{3}} 3^6 = 216 \cdot \sqrt[3]{36} \cdot 729 = 157464 \sqrt[3]{36} \approx 546867.8$ Ответ: 486