Задача 4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике MOP на гипотенузе MP отмечена точка K. Известно, что \(\angle OKP\) в 4 раза больше, чем \(\angle MOK\). Найдите углы треугольника MOK.

Пусть \(\angle MOK = x\), тогда \(\angle OKP = 4x\). В прямоугольном равнобедренном треугольнике \(MOP\) углы при основании равны 45°, то есть \(\angle OMP = \angle OPM = 45^\circ\). Рассмотрим треугольник \(OKP\): \(\angle KOP = 180^\circ - \angle OKP - \angle OPK\) \(\angle KOP = 180^\circ - 4x - 45^\circ\) \(\angle KOP = 135^\circ - 4x\) С другой стороны, \(\angle MOP = \angle MOK + \angle KOP\), следовательно, \(\angle MOK + \angle KOP = 90^\circ\) (так как треугольник прямоугольный). Подставим известные значения: \(x + 135^\circ - 4x = 90^\circ\) \(-3x = -45^\circ\) \(x = 15^\circ\) Теперь мы знаем, что \(\angle MOK = 15^\circ\). Тогда углы треугольника \(MOK\) будут следующими: * \(\angle MOK = 15^\circ\) * \(\angle OMK = 45^\circ\) * \(\angle MKO = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ\) **Ответ:** Углы треугольника \(MOK\) равны \(15^\circ\), \(45^\circ\) и \(120^\circ\).