Задача 3. К прямой m проведены перпендикуляры AB и CD. Докажите, что \(\triangle ABD = \triangle CDB\), если AD = BC.

1. Так как \(AB\) и \(CD\) перпендикулярны прямой \(m\), то углы \(\angle A\) и \(\angle C\) - прямые, то есть \(\angle A = \angle C = 90^\circ\). 2. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CDB\). 3. \(AD = BC\) (дано). 4. \(BD\) - общая сторона. 5. По теореме Пифагора, в прямоугольных треугольниках \(\triangle ABD\) и \(\triangle CDB\): * \(AB^2 + AD^2 = BD^2\) * \(CD^2 + BC^2 = BD^2\) Так как \(AD = BC\), то \(AB^2 = BD^2 - AD^2\) и \(CD^2 = BD^2 - BC^2\), следовательно \(AB^2 = CD^2\), а значит \(AB = CD\). 6. Треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CDB\) равны по двум сторонам (\(AD = BC\), \(AB = CD\)) и углу между ними (\(\angle A = \angle C = 90^\circ\)) (первый признак равенства треугольников). **Ответ:** Треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CDB\) равны.