Задача 6. Докажите, что прямая, параллельная стороне равностороннего треугольника и пересекающая две его стороны, отсекает равносторонний треугольник.

Пусть дан равносторонний треугольник \(ABC\), и прямая \(DE\) параллельна стороне \(AC\), где \(D\) лежит на стороне \(AB\), а \(E\) - на стороне \(BC\). Нужно доказать, что треугольник \(DBE\) тоже равносторонний. Так как \(ABC\) - равносторонний треугольник, все его углы равны 60°, то есть \(\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ\). Поскольку \(DE || AC\), то \(\angle BDE = \angle BAC = 60^\circ\) и \(\angle BED = \angle BCA = 60^\circ\) как соответственные углы при параллельных прямых. Тогда в треугольнике \(DBE\): * \(\angle DBE = 60^\circ\) (по условию) * \(\angle BDE = 60^\circ\) (как соответственный угол) * \(\angle BED = 60^\circ\) (как соответственный угол) Так как все углы треугольника \(DBE\) равны 60°, то он также является равносторонним. **Ответ:** Прямая, параллельная стороне равностороннего треугольника и пересекающая две его стороны, отсекает равносторонний треугольник.