Вариант 2, задание 4: Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 5 см, а сторона многоугольника - 10 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

1) Радиус вписанной окружности равен \( r = R \cos(\frac{\pi}{n}) \), где R - радиус описанной окружности, а n - количество сторон многоугольника. Также \( \sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{a}{2R} \). \( \tan(\frac{\pi}{n}) = \frac{a}{2r} = \frac{10}{2 \times 5} = 1 \). Следовательно, \( \frac{\pi}{n} = 45^{\circ} \), значит, n = 4, это квадрат. \( \sin(45^{\circ}) = \frac{10}{2R} \), \( R = \frac{10}{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{2} \) см. 2) Количество сторон многоугольника - 4. Ответ: 1) \( 5\sqrt{2} \) см, 2) 4.