Вариант 1, задание 4: Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника - \( \frac{4}{\sqrt{3}} \) см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.

1) Радиус вписанной окружности равен \( r = R \cos(\frac{\pi}{n}) \), где R - радиус описанной окружности, а n - количество сторон многоугольника. \( \sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{a}{2R} \), где a - сторона многоугольника. \( \sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{4/\sqrt{3}}{2 \times 4} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \). \( n = 6 \) значит это правильный шестиугольник. \( r = 4 \cos(30^{\circ}) = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) см. 2) Количество сторон многоугольника - 6. Ответ: 1) \( 2\sqrt{3} \) см, 2) 6.