Вариант 2, задание 3: Около окружности описан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной a равен \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \). В нашем случае \( r = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \) см. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали. Диагональ квадрата \( d = 2r = 6\sqrt{3} \). Сторона квадрата равна \( \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{6} \). Ответ: \( 3\sqrt{6} \) см.