Вариант 1, Задание 3. Отрезок AD – биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°.

Так как AD - биссектриса, то ∠BAD = ∠CAD = ∠BAC / 2 = 72° / 2 = 36°. Прямая DF параллельна AB. ∠ADF и ∠BAD - накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DF и секущей AD. Следовательно, ∠ADF = ∠BAD = 36°. ∠BAC = 72°. ∠AFD и ∠BAC - соответственные углы при параллельных прямых AB и DF, и секущей AC. Следовательно, ∠AFD = ∠BAC = 72°. В треугольнике ADF: ∠FAD = ∠CAD = 36°, ∠ADF = 36°, ∠AFD = 72°. ∠FAD + ∠ADF + ∠AFD = 180°. 36°+36°+72°=144, ошибка в решении! По условию ∠BAC = 72°, ∠BAD = ∠CAD = 72°/2 = 36°. Так как DF || AB, то ∠ADF = ∠BAD = 36° как накрест лежащие углы. ∠AFD и ∠BAC соответственные, следовательно, ∠AFD = 72°. Тогда в треугольнике ADF имеем углы: ∠FAD = 36°, ∠ADF = 36°, ∠AFD = 180° - (36°+36°) = 180° - 72° = 108°. Угол ∠AFD = 108° Ответ: ∠FAD = 36°, ∠ADF = 36°, ∠AFD = 108°