В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 16, cos BAC = √7/4. Найдите высоту AH.

Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠ABC. Известен косинус угла BAC. Нам нужно найти высоту AH. Треугольник ABH - прямоугольный, где угол ∠AHB = 90°. 1. Найдем BH, используя косинус угла BAC: cos ∠BAC = AH / AB. В нашем случае, косинус угла BAC = \( \frac{\sqrt{7}}{4} \) \( \frac{AH}{16} = \frac{\sqrt{7}}{4} \) \( AH = 16 * \frac{\sqrt{7}}{4} = 4\sqrt{7} \) 2. Из определения косинуса ∠BAC в треугольнике ABH мы имеем, что cos ∠BAC = \( \frac{AH}{AB} \) Мы знаем, что cos ∠BAC = \( \frac{\sqrt{7}}{4} \) и AB = 16. Отсюда выражаем AH: AH = AB * cos ∠BAC = \( 16 * \frac{\sqrt{7}}{4} \) = \( 4\sqrt{7} \) 3. Теперь нам нужно найти BH, используя теорему Пифагора для треугольника ABH, зная AH и AB: \( AH^2 + BH^2 = AB^2 \) \( (4\sqrt{7})^2 + BH^2 = 16^2 \) \( 16*7 + BH^2 = 256 \) \( 112 + BH^2 = 256 \) \( BH^2 = 256 - 112 = 144 \) \( BH = \sqrt{144} = 12 \) 4. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота AH является медианой, поэтому BH = 1/2 * AB = 8. Однако это не так, у нас есть косинус угла, и это не является равносторонним треугольником. Итоговый ответ: высота AH = \(4\sqrt{7} \). Но в условии задачи спрашивается высота AH. Из шага 1 мы нашли, что AH = \( 4 \sqrt{7} \). И тут, видимо, ошибка, потому что просят высоту AH, а не BH. Пересчитаем: cos BAC = AH/AB , AH = AB * cos BAC AH = 16 * \( \frac{\sqrt{7}}{4} \) = \(4 \sqrt{7} \) Ответ: \(4 \sqrt{7} \)