8. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A, если DB = 3, а BC = 6.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, $BC$ - катет, а $AB$ - гипотенуза. $DB$ - проекция катета $BC$ на гипотенузу. Используем теорему: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. $BC^2 = AB * DB$ $6^2 = AB * 3$ $36 = AB * 3$ $AB = \frac{36}{3} = 12$ $AD = AB - DB = 12 - 3 = 9$ $cos A = \frac{AC}{AB}$ Треугольники $ABC$ и $ACD$ подобны (оба прямоугольные и имеют общий острый угол $A$). Значит $\angle A = \angle BCD$. Рассмотрим треугольник $BCD$: $BC = 6$, $BD = 3$ $sin(\angle BCD) = \frac{BD}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ $\angle BCD = arcsin(\frac{1}{2}) = 30$ $\angle A = 30$ Ответ: 30