7. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A, если DB = 8, а BC=16.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, $BC$ - катет, а $AB$ - гипотенуза. $DB$ - проекция катета $BC$ на гипотенузу. \ Используем теорему: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. \ $BC^2 = AB * DB$ \ $16^2 = AB * 8$ \ $256 = AB * 8$ \ $AB = \frac{256}{8} = 32$ \ $AD = AB - DB = 32 - 8 = 24$ \ $cos A = \frac{AC}{AB}$ \ Треугольники $ABC$ и $ACD$ подобны (оба прямоугольные и имеют общий острый угол $A$). \ Значит $\angle A = \angle BCD$. Рассмотрим треугольник $BCD$: \ $BC = 16$, $BD = 8$ \ $sin(\angle BCD) = \frac{BD}{BC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ \ $\angle BCD = arcsin(\frac{1}{2}) = 30$ \ $\angle A = 30$ \ Ответ: 30