22. Постройте график функции $y = \frac{x^4-10x^2+9}{(x+3)(x-1)}$. Определите, при каких значениях $p$ прямая $y = p$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Решение: 1. Разложим числитель на множители: $x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)$. 2. Запишем функцию в виде: $y = \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)}{(x+3)(x-1)}$. 3. Сократим дробь, учитывая, что $x
eq -3$ и $x
eq 1$: $y = (x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3$. 4. Таким образом, графиком функции является парабола $y = x^2 - 2x - 3$ с выколотыми точками при $x = -3$ и $x = 1$. 5. Найдем вершину параболы: $x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2} = 1$. $y_в = 1 - 2 - 3 = -4$. Но $x=1$ выколотая точка, поэтому рассмотрим значения $x$ близкие к 1. Найдем значение $y$ при $x = -3$: $y(-3) = (-3)^2 - 2(-3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 12$. Точка $(-3; 12)$ выколота. Найдем значение $y$ при $x = 1$: $y(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Но в этой точке $x=1$, поэтому тут дырка. 6. Прямая $y = p$ имеет ровно одну общую точку с графиком, если она проходит через вершину параболы (кроме выколотой точки) или через выколотую точку. В нашем случае, вершина параболы находится в точке (1,-4), но так как точка выколота в ней нет решения. Горизонтальная прямая $y=-4$ не пересекает график в одной точке. Однако мы нашли еще выколотую точку (-3,12), прямая $y=12$ пересекает график в одной точке. 7. Осталось только найти координаты пересечения $y=p$ с $x^2-2x-3$. $x^2-2x-3=p$ имеет 1 решение, если дискриминант $=0$. $x^2-2x-(3+p)=0$. $D=4+4(3+p)=0$. $1+3+p=0$, $p=-4$. Ответ: $p = 12$