23. Найдите площадь остроугольного равнобедренного треугольника с основанием, равным 32, если известно, что радиус описанной около него окружности равен 20.

Решение: 1. Пусть $a$ - основание треугольника, $b$ - боковая сторона, $R$ - радиус описанной окружности. 2. Площадь треугольника можно выразить как $S = \frac{ab^2}{4R}$. 3. Также можно выразить площадь как $S = \frac{1}{2} a h$, где $h$ - высота, опущенная на основание. 4. Известно, что $a = 32$ и $R = 20$. Необходимо найти $b$ или $h$. 5. Найдем высоту, опущенную на основание. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Высота, опущенная на основание, является также серединным перпендикуляром к основанию, так как треугольник равнобедренный. 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания, высотой и радиусом описанной окружности. Пусть $x$ - расстояние от середины основания до центра описанной окружности. Тогда $h = R + x$ или $h = R - x$. 7. По теореме Пифагора, $R^2 = (a/2)^2 + x^2$, $20^2 = 16^2 + x^2$, $400 = 256 + x^2$, $x^2 = 144$, $x = 12$. 8. Тогда $h = R + x = 20 + 12 = 32$ или $h = R - x = 20 - 12 = 8$. 9. Так как треугольник остроугольный, высота должна быть больше половины основания, то есть $h > 16$. Значит, $h = 32$. 10. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 32 = 512$. Ответ: 512