25. Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает его стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $E$ соответственно. Отрезки $AE$ и $CK$ перпендикулярны. Найдите $\angle ABC$, если $\angle KCB = 40^\circ$.

Решение: 1. Четырехугольник $AKEC$ вписан в окружность, следовательно, сумма противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle AEC + \angle AKC = 180^\circ$. 2. По условию, отрезки $AE$ и $CK$ перпендикулярны, то есть $\angle AKC = 90^\circ$ и $\angle AEC = 90^\circ$. 3. Рассмотрим треугольник $KBC$. $\angle KCB = 40^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle KBC + \angle BCK + \angle BKA = 180^\circ$. 4. $\angle BKA = 180^\circ - \angle AKC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. 5. $\angle ABC + 40^\circ = 90^\circ - \angle EKC $ 6. Найдем угол $\angle EKC$. $angle EKC = \angle EAK $ как вписанные опирающиеся на одну дугу. С другой стороны $\angle EAK = 90 - \angle AKE$, но $\angle AKE = \angle CKE=40$, и $\angle EAK = 90-40=50$ В результате $\angle ABC+50+40=90$ и $\angle ABC =50$ Ответ: 50