Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и BD - общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD.

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов: 45+55=100. Проведем линию через центры окружностей O1 и O2. Рассмотрим трапецию O1ABO2, в которой O1A и O2B радиусы (45 и 55). Проведем перпендикуляр из точки O1 к O2B, пусть эта точка E. Тогда O1E = sqrt(100² - 10²) = sqrt(10000-100) = sqrt(9900)= 10*sqrt(99). Теперь нам нужно найти расстояние между хордами AB и CD. AB и CD будут параллельны. Расстояние между прямыми AB и CD будет равно O1O2 - проекция O1A на O1O2 - проекция O2D на O1O2 = 100 - 45*cos(alpha1) - 55*cos(alpha2). Так как AC и BD общие касательные, то alpha1 = alpha2. O1A = 45, O2C = 55. 100^2 = (55-45)^2 + l^2, где l = длина общей касательной. l = sqrt(9900) = 10*sqrt(99). Найдем угол между касательной и линией центров. sin(alpha) = (55-45)/100 = 10/100 = 0.1. Тогда cos(alpha) = sqrt(1-0.1^2) = sqrt(0.99). Тогда проекция О1А на линию центров равна 45*cos(alpha) = 45*sqrt(0.99). Проекция O2D равна 55*sqrt(0.99). 100 - 45*sqrt(0.99) - 55*sqrt(0.99) = 100 - 100*sqrt(0.99) = 100*(1 - sqrt(0.99)) = 100*(1 - 0.995) = 100*0.005 = 0.5 . Расстояние между прямыми AB и CD равно сумме радиусов = 45 + 55 = 100