На средней линии трапеции KLMN с основаниями КП и LM выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников LFM и KFN равна половине площади трапеции.

Пусть h – высота трапеции, a и b – длины оснований KP и LM соответственно. Тогда средняя линия равна (a+b)/2. Высоты треугольников LFM и KFN равны h/2. Площадь трапеции S = ((a+b)/2)*h. Площадь треугольника LFM = (1/2)*b*(h/2) = bh/4. Площадь треугольника KFN = (1/2)*a*(h/2) = ah/4. Сумма площадей треугольников LFM и KFN = bh/4 + ah/4 = (a+b)h/4 = 1/2(((a+b)/2)*h) = половине площади трапеции, что и требовалось доказать.