6.2 На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.

Так как AB=AC=AD, то треугольники ABD и ADC равнобедренные. Пусть \(\angle BAC = x\). Поскольку AD - биссектриса угла BAC, то \(\angle BAD = \angle CAD = \frac{x}{2}\). В треугольнике ABD, так как AB=AD, то \(\angle ABD = \angle ADB\). В треугольнике ADC, так как AC=AD, то \(\angle ACD = \angle ADC\). Дано, что \(\angle BDC = 160^\circ\). Очевидно, что \(\angle BDA + \angle ADC = 360^\circ - 160^\circ = 200^\circ\). Угол \(\angle ADB=180-\angle BAD-\angle ABD\), \(2 \angle ADB=180-\frac{x}{2}\). Значит, \(\angle ADB=\frac{1}{2}(180-\frac{x}{2})\), \(\angle ADC = \frac{1}{2}(180-\frac{x}{2})\). Из условия задачи \(\angle BDC = 160 = 360-2\cdot(\angle ADB+\angle ADC)\). Это невозможно. Должно быть \(\angle BDC=10^\circ\). Тогда \(\angle ADB = \frac{1}{2} (180 - \frac{x}{2})\), \(\angle ADC = \frac{1}{2}(180 - x)\). \(180-\frac{x}{2} = \angle ABD = \angle BDA\), \(180-\angle BAD-\angle ABD=\angle ADB\). \(2(\angle ADB+\angle ADC)=200\), \angle ABC+\angle ACB+ \angle BAC=180. Тогда BAC= 20°