68. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Пусть катеты равны $a = 15$ и $b = 20$. Площадь прямоугольного треугольника равна $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$. Гипотенузу $c$ найдем по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$. Следовательно, $c = \sqrt{625} = 25$. Высота $h$, проведенная к гипотенузе, может быть найдена через площадь: $S = \frac{1}{2}ch$, откуда $h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 150}{25} = \frac{300}{25} = 12$. Ответ: 12