К-3 Вариант 2 (задания) 5. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O, AO = 10 см, OC = 4 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 42 см.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники BOC и DOA подобны. Значит, \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC}. Пусть AD = x, тогда BC = 42 - x. Подставляем известные значения: \frac{10}{4} = \frac{x}{42-x}. Упрощаем: \frac{5}{2} = \frac{x}{42-x}. Перемножаем крест-накрест: 5(42-x) = 2x. Получаем 210 - 5x = 2x. Отсюда 7x = 210. x = 30. Значит, AD = 30 см, а BC = 42 - 30 = 12 см. Ответ: AD = 30 см, BC = 12 см.