9. Найдите значение выражения sin(2arctg(3/4)).

Пусть \( \alpha = \operatorname{arctg}\frac{3}{4} \). Тогда \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4} \). Нам нужно найти \(\sin{(2\alpha)}\). Зная, что \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), и что \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1\), можно найти \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) и \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) (рассмотрим первую четверть, так как арктангенс определен от -\(\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\) ). Тогда \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}\). Ответ: \(\frac{24}{25}\).