7. Найдите tg2a, если cosa = -4/5 и π < α < 3π/2

Известно, что \(\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}\). Найдем \(\sin{\alpha}\), зная \(\cos{\alpha} = -\frac{4}{5}\). Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\), \(\sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\), \(\sin{\alpha} = \pm\frac{3}{5}\). Поскольку \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), то \(\sin{\alpha} < 0\), значит \(\sin{\alpha} = -\frac{3}{5}\). Тогда \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\). Теперь найдём \(\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{24}{7}\). Ответ: \(\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{24}{7}\)