8. Докажите, что значение выражения (cos 6α / cos 2α) + (sin 6α / sin 2α) + 5 не зависит от α

Упростим выражение: \(\frac{\cos 6\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\sin 2\alpha} + 5\). Приведем к общему знаменателю: \(\frac{\cos 6\alpha \sin 2\alpha + \sin 6\alpha \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha \sin 2\alpha} + 5\). В числителе получается формула синуса суммы: \(\sin{(6\alpha + 2\alpha)} = \sin{8\alpha}\). В знаменателе используем формулу \(\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}\) имеем \(\frac{1}{2} \sin 4\alpha\). Выражение примет вид \(\frac{\sin 8\alpha}{\frac{1}{2} \sin 4\alpha} + 5\). Используем формулу \(\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}\), тогда \(\sin{8\alpha} = 2\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}\). Получим \(\frac{2\sin 4\alpha \cos 4\alpha}{\frac{1}{2} \sin 4\alpha} + 5\). Сократим \(\sin 4\alpha\) и получаем \(4 \cos 4\alpha + 5\). Данное выражение зависит от \(\alpha\) и оно не является константой. Похоже, что была допущена ошибка при переписывании задания. Вероятно в выражении \(\frac{\cos 6\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\sin 2\alpha}\) в числителе должно было быть \(\cos{4\alpha}\) и \(\sin{4\alpha}\). Тогда \(\frac{\cos 4\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{\sin 4\alpha}{\sin 2\alpha} + 5 = \frac{\cos 4\alpha \sin 2\alpha + \sin 4\alpha \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha \sin 2\alpha} + 5 = \frac{\sin(4\alpha + 2\alpha)}{\frac{1}{2} \sin 4\alpha} + 5 = \frac{\sin 6\alpha}{\frac{1}{2} \sin 4\alpha} + 5 \) и это не константа.