527. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота — h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: а) h, если r = 10 дм, d = 8 дм, АВ = 13 дм; б) d, если h = 6 см, r = 5 см, АВ = 10 см.

**Решение:** Эта задача требует пространственного мышления и знания геометрии. a) Найдем h, если r = 10 дм, d = 8 дм, АВ = 13 дм. Пусть O1 и O2 - центры оснований цилиндра, а M и N - проекции A и B соответственно на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра и проходящую через середину отрезка, соединяющего проекции A и B на плоскости оснований. Расстояние между проекциями A и B на плоскость основания равно 2*sqrt(r^2-d^2). По теореме Пифагора: \(AB^2 = h^2 + (2\sqrt{r^2 - d^2})^2\) \(13^2 = h^2 + (2\sqrt{10^2 - 8^2})^2\) \(169 = h^2 + (2\sqrt{100 - 64})^2\) \(169 = h^2 + (2\sqrt{36})^2\) \(169 = h^2 + (2*6)^2\) \(169 = h^2 + 144\) \(h^2 = 169 - 144 = 25\) \(h = \sqrt{25} = 5 \text{ дм}\) b) Найдем d, если h = 6 см, r = 5 см, АВ = 10 см. \(AB^2 = h^2 + (2\sqrt{r^2 - d^2})^2\) \(10^2 = 6^2 + (2\sqrt{5^2 - d^2})^2\) \(100 = 36 + 4(25 - d^2)\) \(64 = 4(25 - d^2)\) \(16 = 25 - d^2\) \(d^2 = 25 - 16 = 9\) \(d = \sqrt{9} = 3 \text{ см}\) **Ответ:** a) h = 5 дм b) d = 3 см