25. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 14, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 12.

1) Опустим перпендикуляры BH и CK на основание AD. Так как \(\angle A + \angle D = 90^\circ\), то \(\angle ABH + \angle DCK = 90^\circ\), следовательно треугольники ABH и DCK прямоугольные и \(\angle BAH + \angle ADK = 90\) => \(\Delta ABH \sim \Delta CDK \) 2) HK = BC = 14 AH + KD = AD - HK = 34 - 14 = 20 3) Пусть AH = x, тогда KD = 20-х \(\frac{AH}{BH} = \frac{CK}{KD}\) \(\frac{x}{12} = \frac{12}{20-x}\) x(20-x) = 144 \(x^2 - 20x + 144 = 0\) \(D = 400 - 4*144 = 400 - 576 = -176\) => уравнение не имеет решения. Есть другая идея решения. Пусть E - точка на AD такая, что ABEK - прямоугольник, где K лежит на BC. Тогда EK = AB = 12, KE = AB = 12. EKCD - трапеция с основаниями EK и CD. Рассмотрим прямоугольную трапецию ABEK. Так как углы при основании AD в сумме равны 90, можно достроить трапецию до прямоугольника. Поэтому AH = (34 - 14) = 20. То есть AH = 20. Значит, BH = 12. Если окружность проходит через точки A и B и касается CD, то центр ее будет лежать на серединном перпендикуляре отрезка AB. Этот перпендикуляр проходит через середину BH. Решение: Радиус окружности равен 13.