Докажите, что при любом значении p уравнение x^2-px+2p^2+1=0 не имеет корней.

Ответ:

\[x^{2} - px + 2p^{2} + 1 = 0\]

\[D = ( - p)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( 2p^{2} + 1 \right) =\]

\[= p^{2} - 8p^{2} - 4 = - 7p^{2} - 4 =\]

\[= - (7p^{2} + 4)\]

\[7p^{2} \geq 0;4 > 0 \Longrightarrow - 7p^{2} - 4 < 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow D < 0\ при\ всех\ значениях\ \]

\[переменной \Longrightarrow уравнение\ не\ имеет\]

\[\ корней\ при\ любом\ p.\]