Докажите, что при любом целом n значение выражения (4n+1)^2-3(3n-1)^2 делится на 7.

Ответ:

\[(4n + 1)^{2} - (3n - 1)^{2}\ \vdots 7\]

\[16n^{2} + 8n + 1 - \left( 9n^{2} - 6n + 1 \right) =\]

\[= 16n^{2} + 8n + 1 - 9n^{2} + 6n - 1 =\]

\[= 7n^{2} + 14n = 7n \cdot (n + 2) \vdots 7;\ \ \ \ \]

\[т.к.\ \ один\ из\ множителей\ (7n)\text{\ \ }\]

\[делится\ на\ 7\ без\ остатка.\]