Задача 6: В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 32°. Найдите меньший из двух острых углов треугольника.

Решение: 1. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. CD - медиана, CE - высота, ∠DCE = 32°. 2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, AD = BD = CD, и треугольник ADC равнобедренный (AC = CD). 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠DAC = ∠DCA. Пусть ∠DAC = x, тогда ∠DCA = x. 4. CE - высота, значит ∠CEA = 90°. Следовательно, ∠ECA = 90 - ∠CAB. 5. ∠DCA=∠ECA+∠DCE => x = (90 - ∠CAB)+ 32 6. Но ∠CAB = ∠DAC = x => x=90-x+32 7. 2x=122 => x=61 => ∠CAB = 61°. 8. ∠CBA = 90° - ∠CAB = 90° - 61° = 29°. 9. Меньший из острых углов - 29°. Ответ: Меньший из двух острых углов треугольника равен 29°.