Задача 5: В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите больший из двух острых углов треугольника.

Решение: 1. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. CD - медиана, CE - биссектриса, ∠DCE = 18°. 2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, AD = BD = CD, и треугольник ADC равнобедренный (AC = CD). 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠DAC = ∠DCA. Пусть ∠DAC = x, тогда ∠DCA = x. 4. Так как CE - биссектриса ∠ACB, то ∠ACE = ∠BCE = 45°. 5. ∠DCA = ∠ACE + ∠DCE = 45° + 18° = 63°. Значит, x = 63°. 6. ∠CAB = ∠DAC = 63°. 7. ∠CBA = 90° - ∠CAB = 90° - 63° = 27°. 8. Больший из острых углов - 63°. Ответ: Больший из двух острых углов треугольника равен 63°.