Задача 1: Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и \(\angle ABC = 102^{\circ}\). Найдите величину угла AOB.

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны. Найдем углы \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\): \(\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 102^{\circ}}{2} = \frac{78^{\circ}}{2} = 39^{\circ}\) Угол \(\angle AOB\) является центральным углом, опирающимся на дугу AB. Вписанный угол \(\angle BCA\) опирается на ту же дугу. Следовательно, центральный угол в два раза больше вписанного угла: \(\angle AOB = 2 \cdot \angle BCA = 2 \cdot 39^{\circ} = 78^{\circ}\) Ответ: \(\angle AOB = 78^{\circ}\)