Задача 3: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 119°, угол CAD равен 57°. Найдите угол ABD.

Вписанный угол \(\angle ABC = 119^{\circ}\). Противоположный угол \(\angle ADC\) равен: \(\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 119^{\circ} = 61^{\circ}\) Угол \(\angle ADC\) состоит из двух углов: \(\angle CAD = 57^{\circ}\) и \(\angle ADB\). Найдем угол \(\angle ADB\): \(\angle ADB = \angle ADC - \angle CAD = 61^{\circ} - 57^{\circ} = 4^{\circ}\) Угол \(\angle ABD\) опирается на ту же дугу, что и \(\angle ACD\). Поскольку \(\angle CAD = 57^{\circ}\), то \(\angle CBD = \angle CAD\). Тогда угол \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \angle BCD\). Нам нужно найти угол \(\angle ABD\). Т.к. углы \(\angle CAD\) и \(\angle CBD\) опираются на одну дугу, то они равны. \(\angle CAD = 57^{\circ} = \angle CBD\). Тогда \(\angle ABD + \angle DBC = \angle ABC\). \(\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 119^{\circ} - \angle DBC\) = \(119^{\circ} - 57^{\circ} = 62^{\circ}\). Ответ: \(\angle ABD = 62^{\circ}\)