10. Является ли арифметической прогрессией последовательность, сумма членов которой может быть найдена по формуле: a) $S_n = n^2 + n$; б) $S_n = n (n + 4)$; в) $S_n = 4n^2$?

Для того, чтобы последовательность являлась арифметической прогрессией, разность между соседними членами должна быть постоянной. a) $S_n = n^2 + n$. Тогда $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + n) - ((n-1)^2 + (n-1)) = n^2 + n - (n^2 - 2n + 1 + n - 1) = n^2 + n - n^2 + 2n - 1 - n + 1 = 2n$. Разность между соседними членами: $a_{n+1} - a_n = 2(n+1) - 2n = 2n + 2 - 2n = 2$. Разность постоянна, значит, является арифметической прогрессией. б) $S_n = n(n+4) = n^2 + 4n$. Тогда $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 4n) - ((n-1)^2 + 4(n-1)) = n^2 + 4n - (n^2 - 2n + 1 + 4n - 4) = n^2 + 4n - n^2 + 2n - 1 - 4n + 4 = 2n + 3$. Разность между соседними членами: $a_{n+1} - a_n = (2(n+1) + 3) - (2n + 3) = 2n + 2 + 3 - 2n - 3 = 2$. Разность постоянна, значит, является арифметической прогрессией. в) $S_n = 4n^2$. Тогда $a_n = S_n - S_{n-1} = 4n^2 - 4(n-1)^2 = 4n^2 - 4(n^2 - 2n + 1) = 4n^2 - 4n^2 + 8n - 4 = 8n - 4$. Разность между соседними членами: $a_{n+1} - a_n = (8(n+1) - 4) - (8n - 4) = 8n + 8 - 4 - 8n + 4 = 8$. Разность постоянна, значит, является арифметической прогрессией. Ответ: a) да, б) да, в) да.