5. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии ($a_n$), если: a) $a_1 = 6, a_{11} = 46$; б) $a_6 = 12, a_{16} = 100$.

a) Для нахождения суммы первых 12 членов арифметической прогрессии нам нужно знать $a_1$ и $a_{12}$. Известно $a_1 = 6$ и $a_{11} = 46$. Найдем разность $d$: $a_{11} = a_1 + 10d$, $46 = 6 + 10d$, $40 = 10d$, $d = 4$. Теперь найдем $a_{12} = a_1 + 11d = 6 + 11 \cdot 4 = 6 + 44 = 50$. Сумма $S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = \frac{12(6 + 50)}{2} = 6 \cdot 56 = 336$. б) Дано $a_6 = 12, a_{16} = 100$. Тогда $a_{16} = a_6 + 10d$, $100 = 12 + 10d$, $88 = 10d$, $d = 8.8$. Найдем $a_1 = a_6 - 5d = 12 - 5 \cdot 8.8 = 12 - 44 = -32$. $a_{12} = a_1 + 11d = -32 + 11 \cdot 8.8 = -32 + 96.8 = 64.8$. Сумма $S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = \frac{12(-32 + 64.8)}{2} = 6 \cdot 32.8 = 196.8$. Ответ: a) 336, б) 196.8.