4. Найдите сумму: a) всех натуральных чисел, не превышающих 50; б) всех натуральных чисел, кратных 4, не превышающих 100; в) всех нечетных чисел, не превышающих 100.

a) Сумма всех натуральных чисел, не превышающих 50, находится по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$. В данном случае, $a_1 = 1$, $a_n = 50$, $n = 50$. Следовательно, $S_{50} = \frac{50(1 + 50)}{2} = \frac{50 \cdot 51}{2} = 25 \cdot 51 = 1275$. б) Натуральные числа, кратные 4 и не превышающие 100: 4, 8, 12, ..., 100. Здесь $a_1 = 4$, $a_n = 100$. Найдем $n$: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d = 4$. Тогда $100 = 4 + (n-1)4$, $96 = (n-1)4$, $24 = n-1$, $n = 25$. Сумма $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{25(4 + 100)}{2} = \frac{25 \cdot 104}{2} = 25 \cdot 52 = 1300$. в) Нечетные числа, не превышающие 100: 1, 3, 5, ..., 99. Здесь $a_1 = 1$, $a_n = 99$, $d = 2$. Найдем $n$: $99 = 1 + (n-1)2$, $98 = (n-1)2$, $49 = n-1$, $n = 50$. Сумма $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{50(1 + 99)}{2} = \frac{50 \cdot 100}{2} = 25 \cdot 100 = 2500$. Ответ: a) 1275, б) 1300, в) 2500.