Вариант III. Задача 3: В прямоугольном треугольнике из вершины угла, равного 60°, проведена биссектриса. Расстояние от основания биссектрисы до большего катета равно 6 см. Найти длину гипотенузы.

Решение: 1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, угол B = 60°, угол C = 90°. Значит, угол A = 30°. 2. Так как угол B = 60°, то катет AC > BC, значит, AC - больший катет. Пусть BD - биссектриса угла B, а DK - перпендикуляр, опущенный из точки D на AC. Тогда DK = 6 см (расстояние от основания биссектрисы до большего катета). 3. По свойству биссектрисы, DK = расстояние от точки D до BC. Пусть DL - перпендикуляр, опущенный из D на BC. Тогда DK = DL = 6 см. 4. Рассмотрим треугольник BDL. Угол DBL = 30° (так как BD - биссектриса), угол DLB = 90°. Тогда sin(30°) = DL/BD, откуда BD = DL/sin(30°) = 6/(1/2) = 12 см. 5. Рассмотрим треугольник BCD. Угол DBC = 30°, угол C = 90°. Тогда cos(30°) = BC/BD, откуда BC = BD * cos(30°) = 12 * (√3/2) = 6√3 см. 6. Рассмотрим треугольник ABC. Угол B = 60°, угол C = 90°. Тогда sin(60°) = AC/AB, cos(60°) = BC/AB. Откуда AB = BC/cos(60°) = 6√3 / (1/2) = 12√3. Ответ: Длина гипотенузы равна 12√3 см.