Вариант I. Задача 4*: Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.

Доказательство: 1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Пусть BM - медиана, BH - высота, а BD - биссектриса, проведенные из вершины B. 2. Так как BM - медиана, проведенная к гипотенузе AC, то BM = AM = MC = AC/2. 3. Угол ABD = углу DBC = 45°, так как BD - биссектриса угла B = 90°. 4. Пусть угол ABH = α. Тогда угол CBH = 90° - α. 5. Требуется доказать, что угол DBH = углу MBD. 6. В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 90° - угол ABH = 90° - α. 7. В треугольнике ABM, BM = AM, следовательно, треугольник ABM равнобедренный. Тогда угол ABM = углу BAM = 90° - α. 8. Угол MBD = угол ABD - угол ABM = 45° - (90° - α) = α - 45°. 9. Угол DBH = угол CBH - угол CBD = (90° - α) - 45° = 45° - α. 10. Так как |α - 45°| = |45° - α|, то угол MBD = углу DBH. Следовательно, биссектриса BD делит угол между высотой BH и медианой BM пополам.