Вариант I. Задача 1: В треугольнике ABC <C = 60°, <B = 90°. Высота BB₁ равна 2 см. Найдите AB.

Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BB₁C. В нем угол C = 60°, значит, угол BB₁C = 90°, следовательно, угол B₁BC = 30° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°). 2. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. В нашем случае BB₁ - катет, лежащий против угла B₁BC, значит, BC = 2 * BB₁ = 2 * 2 = 4 см. 3. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный (угол B = 90°). Нам известна сторона BC = 4 см и угол C = 60°. Тогда sin(C) = AB/AC. А cos(C) = BC/AC. Сначала найдем AC используя cos(C) = BC/AC, откуда AC = BC/cos(60°) = 4/(1/2) = 8 см. 4. Теперь найдем AB используя теорему Пифагора: AB² + BC² = AC², откуда AB² = AC² - BC² = 8² - 4² = 64 - 16 = 48. AB = √48 = 4√3 см. Ответ: AB = 4√3 см.