Вариант III, Задача 1: В треугольнике ABC <С = 90°, <B = 60°. BD – биссектриса. CD = 18 см. Найдите AD.

В треугольнике ABC угол C = 90°, угол B = 60°. Следовательно, угол A = 180° - 90° - 60° = 30°. BD - биссектриса угла B, следовательно угол CBD = угол ABD = 60°/2 = 30°. Рассмотрим треугольник BCD. Угол CBD = 30°, угол C = 90°. Значит, угол BDC = 180° - 90° - 30° = 60°. Рассмотрим треугольник ABD. Угол ABD = 30°, угол A = 30°. Следовательно, треугольник ABD - равнобедренный, и AD = BD. В треугольнике BCD CD = 18. Используем тангенс угла CBD: \(tg(CBD) = CD / BC \) \(tg(30°) = 18 / BC \) \(BC = 18 / tg(30°) = 18 / (1/√3) = 18√3\) Теперь рассмотрим треугольник ABC: \(tg(A) = BC / AC\) \(tg(30°) = (18√3) / AC\) \(AC = (18√3) / tg(30°) = (18√3) / (1/√3) = 18 * 3 = 54\) AD = AC - CD = 54 - 18 = 36 Ответ: AD = 36 см.